Définition et exemples
Définition : Ensembles et éléments
Un ensemble est une collection d'objets qui sont appelés ses éléments. Ces éléments peuvent être de tous types : nombres, figures géométriques, solutions d'une équation différentielle, ensembles...
Syntaxe :
La propriété « x est élément de E »
se note . On dit aussi que « x appartient à E »
. La négation se note .
Exemple : Quelques ensembles bien connus
est l'ensemble des entiers naturels
est l'ensemble des entiers relatifs
est l'ensemble des nombres rationnels de la forme avec et (ensemble des entiers naturels non nuls)
est l'ensemble des réels, certainement l'ensemble le plus compliqué à décrire... Si riche soit-il, ne permet pas de décrire l'ensemble des quantités qui apparaissent en mathématiques, comme ou . L'ensemble des réels a donc été introduit pour permettre l'expression de telles quantités. On peut dire qu'il complète .
est l'ensemble des nombres complexes de la forme , avec , et imaginaire pur vérifiant
Syntaxe :
L'ensemble constitué des éléments , sans répétition, est noté . L'ordre d'écriture des éléments est sans importance.
Fondamental : Égalité de deux ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments.
Définition : Cardinal, singleton, paire
Le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments. Ce nombre peut être fini ou infini. Lorsque le cardinal est fini, on dit que l'ensemble est fini ; sinon que l'ensemble est infini.
Un singleton est un ensemble de cardinal , une paire un ensemble de cardinal .
Propriété : L'ensemble vide
Il existe un et un seul ensemble de cardinal , ne contenant aucun élément. Cet ensemble est appelé l'ensemble vide et noté .
Attention :
Ne pas confondre et . Par exemple, et sont des singletons, mais ni ni ne le sont...
