Définition et exemples
Définition : Ensembles et éléments
Un ensemble est une collection d'objets qui sont appelés ses éléments. Ces éléments peuvent être de tous types : nombres, figures géométriques, solutions d'une équation différentielle, ensembles...
Syntaxe :
La propriété « x est élément de E »
se note x∈E. On dit aussi que « x appartient à E »
. La négation se note x∉E.
Exemple : Quelques ensembles bien connus
N est l'ensemble des entiers naturels 0,1,2,3,…
Z est l'ensemble des entiers relatifs …,−2,−1,0,1,2,…
Q est l'ensemble des nombres rationnels de la forme pq avec p∈Z et q∈N∗ (ensemble des entiers naturels non nuls)
R est l'ensemble des réels, certainement l'ensemble le plus compliqué à décrire... Si riche soit-il, Q ne permet pas de décrire l'ensemble des quantités qui apparaissent en mathématiques, comme √2 ou π. L'ensemble des réels a donc été introduit pour permettre l'expression de telles quantités. On peut dire qu'il complète Q.
C est l'ensemble des nombres complexes de la forme z=a+ib, avec a,b∈R, et i imaginaire pur vérifiant i2=−1
Syntaxe :
L'ensemble constitué des éléments x1,…,xn, sans répétition, est noté {x1,…,xn}. L'ordre d'écriture des éléments est sans importance.
Fondamental : Égalité de deux ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments.
Définition : Cardinal, singleton, paire
Le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments. Ce nombre peut être fini ou infini. Lorsque le cardinal est fini, on dit que l'ensemble est fini ; sinon que l'ensemble est infini.
Un singleton est un ensemble de cardinal 1, une paire un ensemble de cardinal 2.
Propriété : L'ensemble vide
Il existe un et un seul ensemble de cardinal 0, ne contenant aucun élément. Cet ensemble est appelé l'ensemble vide et noté ∅.
Attention :
Ne pas confondre x et {x}. Par exemple, {R} et {∅} sont des singletons, mais ni R ni ∅ ne le sont...
