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Produit cartésien

Définition : Produit cartésien

Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Le produit cartésien de $E$ et $F$ est l'ensemble des couples formés d'un élément de $E$ , en premier argument, et d'un élément de $F$ , en deuxième argument. On le note $E\times F$ .

Autrement dit : $E\times F=\left\{(x,y)/x\in E\mbox{ et }y\in F\right\}$

Attention :

L'ordre des éléments dans un couple est important : si $x\not=y$ , alors $(x,y)\not=(y,x)$ .

Remarque :

Les éléments de $E\times F$ n'appartiennent ni à $E$ , ni à $F$ .

Exemple :

$\left\{A,B,C\right\}\times\left\{0,1\right\}=\left\{(A,0),(A,1),(B,0),(B,1),(C,0),(C,1)\right\}$

Propriété :

Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis de cardinaux $m$ et $n$ respectivement, alors $E\times F$ est fini et de cardinal $mn$ .

Définition : Produit cartésien itéré

On peut généraliser la définition précédente aux familles finies ou infinies d'ensembles. Soit $\left(E_k,k\geq 1\right)$ une suite d'ensembles. On définit, pour tout $n\geq 1$ :

$\prod_{k=1}^nE_k=E_1\times E_2\times\cdots\times E_n=\left\{(x_1,\ldots,x_n)/x_1\in E_1,\ x_2\in E_2,\ldots,x_n\in E_n\right\}$
$\prod_{k=1}^{+\infty} E_k=E_1\times E_2\times\cdots=\left\{(x_1,x_2\ldots)/x_1\in E_1,\ x_2\in E_2,\ldots\right\}$

Remarque : Notations

Le produit cartésien d'un ensemble $E$ avec lui-même est noté $E^2$ . De façon analogue, on note $\prod_{k=1}^n E$ par $E^n$ et $\prod_{k=1}^{+\infty} E$ par $E^\infty$ .

Exemple : Coordonnées cartésiennes

L'ensemble des coordonnées cartésiennes des points du plan est $\mathbb{R}^2$ .
De même, l'ensemble des coordonnées des points de l'espace (de dimension $3$ ) est $\mathbb{R}^3$ .
L'ensemble des suites réelles est le produit cartésien infini $\mathbb{R}^\infty$ .

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