(ma)Thématiques de pré-rentrée

Cours

Langage mathématique
- Introduction
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  - Langage
  - Symboles et variables
  - Lettres grecques
  - Proposition
  - Quantification
    - Quantificateurs
    - Quantificateurs successifs
  - Sommes et produits
  - Langage formel et métalangage
- Exercices
- Quiz
Ensembles et éléments

Quantificateurs successifs

Exemple :

$\forall x\in\mathbb{R}, \forall y\in\mathbb{R},\, x^2-2y+2>0$ : FAUX
$\forall y\in\mathbb{R}, \forall x\in\mathbb{R},\, x^2-2y+2>0$ : FAUX
$\forall x\in\mathbb{R}, \exists y\in\mathbb{R},\, x^2-2y+2=0$ : VRAI
$\exists y\in\mathbb{R}, \forall x\in\mathbb{R},\, x^2-2y+2=0$ : FAUX

Quantificateurs identiques

Fondamental :

Lorsque une proposition est précédée de plusieurs quantificateurs de la même nature, on peut intervertir les quantifications sans changer la valeur de vérité de la proposition formée.

Exemple :

La proposition $\forall y<1, \forall x\in\mathbb{R},\, x^2-2y+2>0$ est vraie.
La proposition $\exists y<1, \exists x\in\mathbb{R}\, /\, x^2-2y+2=0$ est fausse.

Quantificateurs distincts

Fondamental :

Lorsque une proposition est précédée de plusieurs quantificateurs de nature différente, l'ordre des quantificateurs ne peut en aucun cas être modifié.

Exemple :

La proposition $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R},\, x+y+1=0$ est vraie.
La proposition $\exists y \in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R},\, x+y+1=0$ est fausse.

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