Inclusion et implication
Lorsque l'on traduit dans le langage mathématique formel les prédicats ou les opérations qui interviennent en théorie des ensembles, on voit apparaître une correspondance simple avec les connecteurs logique. Cette correspondance est la clef d'un grand nombre de démonstrations.
La première de ces correspondances fait le lien entre l'implication et l'inclusion. Considérons et deux ensembles ; alors il est possible de caractériser l'inclusion de dans par une implication :
On en déduit un critère de non-inclusion :
Méthode :
On en déduit :
Pour montrer qu'un ensemble est une partie d'un ensemble , il suffit de prendre un élément quelconque dans et de montrer qu'il appartient à .
Pour montrer que n'est pas une partie de , il suffit de trouver un élément particulier de qui n'appartienne pas à .
Inversement, on peut exprimer une implication par une inclusion. Considérons un ensemble, et deux propositions logiques portant sur les éléments de ; l'implication de vers équivaut à une inclusion :
