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Cours

Intersection de deux ensembles

Définition : Intersection

Soit $A$ et $B$ deux parties d'un même ensemble $E$ . L'intersection de $A$ et $B$ est le sous-ensemble de $E$ constitué des éléments appartenant à $A$ et à $B$ . On le note $A\cap B$ .

Autrement dit : $A\cap B=\left\{x\in E/x\in A\mbox{ et }x\in B\right\}$

Intersection de A et B

Propriété :

Soit $A$ , $B$ et $C$ des parties d'un même ensemble $E$ .

$A\cap \emptyset=\emptyset$ ;
$A\cap A=A$ ;
$A\cap B=B\cap A$ (commutativité) ;
$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ (associativité).

Complément :

Soit $\left(A_i,i\in I\right)$ une famille de parties d'un ensemble $E$ . L'intersection étant commutative et associative, il est possible de définir l'intersection de tous les $A_i$ sans avoir besoin de préciser l'ordre ou le parenthésage. On le note $\bigcap_{i\in I}A_i$ :

$\bigcap_{i\in I}A_i=\left\{x\in E/(\forall i\in I)(x\in A_i)\right\}$

Exemple :

Soit $E$ un ensemble. Alors

$\emptyset=\bigcap_{A\in\mathcal{P}(E)}A$

$\bigcap_{x\in\mathbb{R}_+^*}\left]-x,x\right[=\left\{0\right\}$

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