(ma)Thématiques de pré-rentrée

Vérifier les égalités suivantes :

$$\begin{eqnarray*}(2n)!&=&\prod_{k=1}^{n}(n+k)\cdot n!\\ &=&n^n\cdot n!\cdot\prod_ {k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)\\ &=&\prod_{p=1}^n(2p)(2p-1)\\ &=&2^n\cdot n!\cdot\prod_{p=0}^{n-1}(2p+1)\end{eqnarray*}$$

Proposer une formulation simple, en termes de factorielles, pour $\prod_{p=1}^n(2p)$, puis pour $\prod_{p=1}^n(2p-1)$.