(ma)Thématiques de pré-rentrée

Négation de propositions

Soit $P$ la proposition « Il y a des baleines blanches ». Écrire $P$ dans le langage formel en utilisant des quantificateurs.

Notons $B$ l'ensemble des baleines, et pour $b\in B$ , $c(b)=blanc$ est vrai si la baleine $b$ est blanche, alors $P$ s'écrit

$\exists b\in B, c(b)=blanc$

On considère les propositions suivantes :

Laquelle de ces propositions est équivalente à $non\, P$ ?

On obtient la négation $non\, P$ comme suit :

$\forall b\in B, c(b)\neq blanc$

C'est-à-dire "aucune baleine n'est blanche" donc $[Q_3\Leftrightarrow (non\, P)]$ .

Écrivons les autres affirmations grâce aux quantificateurs :

$Q_1 = "\forall b\in B, c(b)=noir"$ , ce qui entraîne $non\, P$ mais n'est pas équivalent car il existe des baleines grises et bleues ;
$Q_2 = "\exists b\in B, c(b)=noir"$ , on ne peut rien dire sur $P$ et $non\, P$ ;
$Q_4 = "\exists b\in B, c(b)\neq blanc"$ , on peut dire que $[(non\,P)\Rightarrow Q_4]$ .