(ma)Thématiques de pré-rentrée

Cours

Langage mathématique
Ensembles et éléments

Calcul de produits

Question

Calculer les produits suivants :

$\displaystyle{ (1)\,\prod_{k=2} ^n \left(1-\frac{1}{k^2}\right)\;,\quad (2)\, \prod_{k=1}^n(5\cdot 2^k)\;,\quad (3)\, \prod_{k=1}^{2n}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k}.$

Solution simple

$\prod_{k=2} ^n \left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\prod_{k=2} ^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n}$
$\prod_{k=1}^n(5\cdot 2^k)=5^n2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
$\prod_{k=1}^{2n}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k=2^{-\frac{n(2n+1)}{2}}$ .

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