Somme
Exemple :
On considère la notation suivante "". Quel sens donner aux points de suspension "" ?
Les nombres suivants dans la liste peuvent être "" ; dans ce cas on a commencé à écrire une suite arithmétique de raison .
On peut aussi continuer avec "" ; ceci donne une liste des nombres premiers à partir de 3.
On peut trouver d'autres façons "logiques" de continuer la suite. Bien sûr, aucune réponse n'est préférable à une autre. Il faut donc toujours s'assurer que le contexte est suffisamment clair et permet d'éviter les ambiguïtés.
Considérons maintenant la proposition suivante "" . Vous pouvez facilement vérifier que cette affirmation est vraie. Ici il est clair que l'on fait la somme des neuf premiers entiers impairs, mais si l'on écrit "", le lecteur peut avoir un doute :
est-ce que l'on considère une somme de nombres premiers (plus le 1) ou une somme d'entiers impairs ?
Le problème est plus net encore si l'on fait la somme des cinq cents premiers nombres impairs : on est alors tenté d'écrire "", mais comment s'assurer que le lecteur va comprendre ?
Méthode :
Pour lever les ambiguïtés rencontrées, on a deux façons de procéder :
on donne la suite de façon exhaustive (complète) ; c'est possible s'il n'y a pas beaucoup de termes ;
on donne la règle de construction de la suite.
Syntaxe :
Revenons à la somme des entiers impairs. Un entier impair peut s'écrire sous la forme "" où est un entier quelconque .
Pour faire la somme des cinq cents premiers nombres impairs, on va "faire la somme des entiers pour allant de à " . Mais au lieu d'écrire cette phrase, on va noter plus brièvement :
Le symbole est celui de la lettre grecque sigma majuscule ; il a été introduit par Euler au milieu de 18ème siècle et indique que l'opération effectuée est une somme.
est la variable de sommation ; elle prend toutes les valeurs entières de à ; elle est dite variable muette car elle peut être remplacée par toute autre variable qui n'est pas utilisée ailleurs sans modifier la valeur de la somme :
Le terme général est ; afin de simplifier l'écriture, on peut donner un nom au terme général et uniquement exprimer sa dépendance de la variable ; la notation habituelle est de mettre la variable en indice ; si l'on pose , on pourra alors écrire :
Conseil :
Lorsqu'on utilise la notation , il faut toujours vérifier les bornes de la somme qui sont source de nombreuses erreurs. Il est souvent utile de développer partiellement la somme et d'en écrire les premiers et derniers termes :
Remarque :
Par convention, une somme indexée par l'ensemble vide est nulle. Exemple : .
Propriété :
où est un entier et les , , sont des nombres réels.
