(ma)Thématiques de pré-rentrée

• Suites puissances. $a_k=k^p$, où $p$ est un entier :

$$\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\; ;\qquad \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\; ;\qquad \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\;. }$$

• Différence de puissances. $n$ est un entier et $a,b$ des réels :

$$\displaystyle{ \begin{array}{rcl}a^{n+1}-b^{n+1} &= &(a-b)(a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^{n})\\& =& (a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k \; \end{array}}$$

• Suites géométriques. $a_k=\alpha^k$, où $\alpha$ est un réel :

$$\sum_{k=0}^n \alpha^k=1+\alpha+\alpha^2+\cdots+\alpha^n=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha-1} & \mbox{si}\; \alpha\neq 1 \\ &\\ n+1 & \mbox{si}\; \alpha=1\end{array}\right.$$

Plus généralement :

$$\sum_{k=m}^n \alpha^k=\alpha^m\sum_{k=0}^{n-m} \alpha^k=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\alpha^{n+1}-\alpha^m}{\alpha-1} & \mbox{si}\; \alpha\neq1 \\ \\ n-m+1 & \mbox{si}\; \alpha=1\end{array}\right.$$

• Formule du binôme. $n,k$ sont des entiers :

$$\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}a^{n-k}b^k \;,}$$

avec

$$\displaystyle{ \begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\ n-k\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-(k-2))(n-k+1)}{k!} \;.}$$