Propositions et variables
On a vu comment l'on compose des propositions en mathématiques, on va maintenant voir comment énoncer de façon précise une proposition. Pour cela, on est souvent amené à utiliser des variables. Elles permettent d'exprimer de façon concise des propriétés et des résultats qui sont souvent difficiles à décrire précisément dans le langage de tous les jours. On a vu que l'assertion (imprécise) "il fait froid en hiver" est formulée en langage mathématique par "tous les jours de l'hiver sont froids" où l'on introduit les "jours" comme variables pour formaliser la phrase initiale.
Dans la suite, on s'intéresse à l'utilisation de variables dans les énoncés mathématiques.
Exemple :
La proposition "l'entier est divisible par 2" est fausse si est un entier impair mais vraie si est pair.
La proposition "" est seulement vraie si est égal au nombre rationnel négatif .
L'assertion "" n'est ni toujours vraie, ni toujours fausse. Il faut préciser pour quelles valeurs du nombre et pour quelles fonctions on considère l'assertion.
Syntaxe :
Pour simplifier l'écriture et l'utilisation d'une proposition, on peut lui donner un nom et exprimer uniquement les variables dont elle dépend.
Ainsi la proposition "l'entier est divisible par 2" peut s'écrire .
L'assertion "" dépend de trois variables et l'on pourra écrire . Suivant les valeurs de nombres réels , et , la proposition sera vraie ou fausse.
Si ="", alors dire que "( et ) est vrai" revient à dire que est un entier pair compris entre et .
Remarque :
Dans les exemples précédents, les variables sont libres. Si une proposition contient des variables libres, on ne peut pas décider si elle est vraie ou fausse. Il faut donc préciser (ou éliminer) les variables libres.
Méthode :
Il y a deux façons de préciser les variables libres :
on remplace la variable par une valeur particulière, c'est la spécialisation ;
on va lier la variable grâce à la quantification : "pour tout" ou "il existe".
Exemple :
On s'intéresse à la proposition "" :
La spécialisation "" est fausse, tandis que "" est vraie ;
la proposition "pour tout réel on a " est fausse ;
"il existe un réel tel que " est une assertion vraie ;
"il existe un entier tel que " est fausse.
La quantification étant très fréquente en mathématiques, des symboles particuliers sont utilisés et présentés dans la suite.
